Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Лабораторна робота № 1 з курсу “Моделювання процесів та елементів систем керування” Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів  Мета роботи – вивчити методи наближення нелінійних характеристик елементів систем керування поліноміальними функціями, а саме: поліномами Лагранжа, Тейлора та кубічними сплайнами; навчитися записувати програми у вигляді універсальних процедур для апроксимації нелінійних характеристик. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ На практиці досить часто нелінійні характеристики елементів систем керування визначаються емпіричним шляхом, а тому задаються в табличному вигляді. Це означає, що нелінійні характеристики задаються лише декількома дискретними значеннями аргументу і функції. В подальших розрахунках, при аналізі режимів роботи цих елементів, нам необхідно мати їх неперервні характеристики. Для цього треба підібрати аналітичну функцію, яка б відображала емпіричну залежність. Найбільш зручною на практиці функцією є алгебричний поліном. Щоб його задати необхідно визначити певне число його коефіцієнтів. Широке застосування поліномів обмовлене тим, що від нього легко взяти похідну, обчислити інтеграл і т.д. Розглянемо кілька методів інтерполяції функції алгебричними поліномами. 1.1. Різницеві схеми Існує багато різницевих схем методів інтерполяції функцій. Найбільшого поширення набув метод Ньютона-Грегорі для інтерполювання “вперед”. Інтерполяційний поліном в цьому випадку має вигляд

. (1) Наклавши умову збігу в дискретних точках значень функції та поліному запишемо систему рівнянь з якої визначимо коефіцієнти поліному
. (2) Підставивши (1) в (2), отримаємо
(3) Як бачимо це є система
лінійних алгебричних рівнянь з трикутною матрицею. Розв’язуючи дану систему можна визначити коефіцієнти
...
. Нехай дискретні значення функції
отримані емпіричним шляхом є рівновіддаленими по вісі абсцис, тобто
, (4) де
- крок табуляції. Розв’язок системи рівнянь (3) зводиться до різницевих виразів для коефіцієнтів інтерполяції
(5) Інтерполяційний поліном (1) з урахуванням отриманих залежностей (5) набуде вигляду

(6) Формула (6) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Вона використовує праві різниці. При застосуванні лівих різниць можна отримати другу інтерполяційну формулу Ньютона. Використання центральних різниць для отримання інтерполяційних формул приводить до формул Гауса, Стірлінга та Бесселя. 1.3. Метод вибраних точок Як і кубічний сплайн цей метод використовують, коли функція задана у вигляді таблиці значень аргументу і функції. Спочатку необхідно вибрати вираз для апроксимації, припустимо, що це буде рівняння параболи
. (9) Отже для апроксимації нам необхідно визначити три коефіцієнти параболи
. Для цього необхідно мати систему трьох лінійних алгебричних рівнянь. Візьмемо з таблиці перших три значення функції
(10) Для цих значень запишемо систему рівнянь підставивши (10) в (9)
(11) Розв’язавши систему лінійних алгебричних рівнянь (11) визначимо коефіцієнти апроксимації
на відрізку
Можна вибрати іншу апроксимаційну функцію і накладати різні умови. Наприклад, можна взяти поліном третього порядку
. (12) Тут необхідно визначити чотири коефіцієнти
. Для цього необхідно мати систему чотирьох алгебричних рівнянь. Візьмемо з таблиці перших три значення функції
(13) і доповнимо їх ще однією умовою, а саме значенням похідної в середній точці

. (14) Якщо така похідна не задана, то її можна обчислити наближено
. (15) Слід зауважити, що це найпростіший вираз для обчислення похідної, тому він може давати значні похибки. Похідна кубічного поліному (12) буде мати вигляд
. (16) Для значень (13), (14) складемо систему лінійних алгебричних рівнянь,...